Question

7．已知函數(shù)f（x）=（3x+1）e^x+1+kx（k≥-2），若存在唯一整數(shù)m，使f（m）≤0，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是$[-2，-\frac{5}{2e}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)不等式的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)g（x）=kx，h（x）=-（3x+1）e^x+1，由題意得g（x）≤h（x）的整數(shù)解只有1個(gè)，求出h′（x）、判斷出h（x）的單調(diào)性畫出圖象，利用圖象和條件列出不等式組，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：由f（x）≤0得（3x+1）e^x+1+kx≤0，
即kx≤-（3x+1）e^x+1，
設(shè)g（x）=kx，h（x）=-（3x+1）e^x+1，
h′（x）=-（3e^x+1+（3x+1）e^x+1）=-（3x+4）e^x+1，
由h′（x）＞0得：-（3x+4）＞0，即x＜-$\frac{4}{3}$，
由h′（x）＜0得：-（3x+4）＜0，即x＞-$\frac{4}{3}$，
即當(dāng)x=-$\frac{4}{3}$時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，
由題意知，存在唯一整數(shù)m，使f（m）≤0即g（m）≤h（m），
當(dāng)k≥0時(shí)，滿足g（x）≤h（x）的整數(shù)解超過(guò)1個(gè)，不滿足條件．
當(dāng)-2≤k＜0時(shí)，要使g（x）≤h（x）的整數(shù)解只有1個(gè)，
則$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）≥g（-1）}\\{h（-2）＜g（-2）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2•{e}^{0}≥-k}\\{5•{e}^{-1}＜-2k}\end{array}\right.$，解得$-2≤k＜-\frac{5}{2e}$，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是$[-2，-\frac{5}{2e}）$，
故答案為：$[-2，-\frac{5}{2e}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與不等式的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關(guān)系，以及構(gòu)造函數(shù)法，利用構(gòu)造函數(shù)和數(shù)形結(jié)合解決不等式問(wèn)題，考查分析、解決問(wèn)題的能力．