Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex+e-x 2 ，x≥0 ex-e-x 2 ，x＜0

，若方程f（x）=a恰有一實(shí)根，則a的取值范圍為（　　）

• A、（-∞，0]∪（1，+∞）
• B、（-∞，0）∪[1，+∞）
• C、（-∞，0）∪（1，+∞）
• D、（-∞，0）∪（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由分段函數(shù)可知，可依次判斷其單調(diào)性，由此確定a的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)x＜0時(shí)，
易知函數(shù)f（x）=

ex-e-x

2

為增函數(shù)；
當(dāng)x≥0時(shí)，
令t=e^x（t≥1），其在[0，+∞）上是增函數(shù)，
且y=

t+t-1

2

在[1，+∞）上也是增函數(shù)，
則函數(shù)f（x）=

ex+e-x

2

也為增函數(shù)；
又∵f（x）=

ex-e-x

2

＜

e0-e0

2

=0，
f（x）=

ex+e-x

2

≥f（0）=1，
則若方程f（x）=a恰有一實(shí)根，則
a的取值范圍為（-∞，0）∪[1，+∞）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的根與函數(shù)的交點(diǎn)之間的關(guān)系，同時(shí)考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．