【題目】已知橢圓E: 經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M,N滿足,直線PM、PN分別交橢圓于A,B.探求直線AB是否過定點(diǎn),如果經(jīng)過定點(diǎn)請求出定點(diǎn)的坐標(biāo),如果不經(jīng)過定點(diǎn),請說明理由.
【答案】(1);(2)直線AB過定點(diǎn)Q(0,﹣2).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程;(2)先由特殊情況得到結(jié)果,再考慮一般情況,聯(lián)立直線和橢圓得到二次函數(shù),根據(jù)韋達(dá)定理,和向量坐標(biāo)化的方法,得到結(jié)果。
(Ⅰ)由橢圓的離心率e=,則a2=4b2, 將P(2,1)代入橢圓,則,解得:b2=2,則a2=8, ∴橢圓的方程為: ;
(Ⅱ)當(dāng)M,N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí),顯然直線AB為y軸,所以若直線過定點(diǎn),這個(gè)定點(diǎn)一點(diǎn)在y軸上,
當(dāng)M,N不是短軸的端點(diǎn)時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+t,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),
由消去y得(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣8=0,·則△=16(8k2﹣t2+2)>0,
x1+x2=,x1x2=,
又直線PA的方程為y﹣1=(x﹣2),即y﹣1=(x﹣2),
因此M點(diǎn)坐標(biāo)為(0, ),同理可知:N(0, ),
由,則+=0,
化簡整理得:(2﹣4k)x1x2﹣(2﹣4k+2t)(x1+x2)+8t=0,
則(2﹣4k)×﹣(2﹣4k+2t)()+8t=0,
當(dāng)且僅當(dāng)t=﹣2時(shí),對任意的k都成立,直線AB過定點(diǎn)Q(0,﹣2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,則稱函數(shù)是等比源函數(shù).
()判斷下列函數(shù):①;②;③中,哪些是等比源函數(shù)?(不需證明)
()判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù),并證明你的結(jié)論.
()證明: , ,函數(shù)都是等比源函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三某班的一次測試成績的頻率分布表以及頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下,請根據(jù)此解答如下問題:
(1)求班級的總?cè)藬?shù);
(2)將頻率分布表及頻率分布直方圖的空余位置補(bǔ)充完整;
(3)若要從分?jǐn)?shù)在[80,100)之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,在抽取的試卷中,求至少有一份分?jǐn)?shù)在[90,100)之間的概率.
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[50,60) | 0.08 | |
[60,70) | 7 | |
[70,80) | 10 | |
[80,90) | ||
[90,100) | 2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)若,求證不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立的機(jī)坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn)且與直線平行的直線交于兩點(diǎn),求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)甲、乙兩人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為 ,且各次射擊相互獨(dú)立,若按甲、乙、甲、乙…的次序輪流射擊,直到有一人擊中目標(biāo)就停止射擊,則停止射擊時(shí),甲射擊了兩次的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1 , F2分別是雙曲線 =1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)恰好在以F2為圓心,|OF2|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為半徑的圓上,則該雙曲線的離心率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】雙十一網(wǎng)購狂歡,快遞業(yè)務(wù)量猛增.甲、乙兩位快遞員月日到日每天送件數(shù)量的莖葉圖如圖所示.
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)快遞員的平均送件數(shù)量較多(寫出結(jié)論即可);
(Ⅱ)求甲送件數(shù)量的平均數(shù);
(Ⅲ)從乙送件數(shù)量中隨機(jī)抽取個(gè),求至少有一個(gè)送件數(shù)量超過甲的平均送件數(shù)量的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(且)是定義在上的奇函數(shù).
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的值域;
(3)當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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