Question

2．求下列各式的值：
（1）若$\frac{π}{2}$＜α＜π，且$sinα=\frac{4}{5}$，求$\frac{sin（2π-α）tan（π+α）cos（-π+α）}{{sin（\frac{π}{2}-α）cos（\frac{π}{2}+α）}}$的值，
（2）化簡$\frac{sin（α+nπ）+sin（α-nπ）}{sin（α+nπ）cos（α-nπ）}$．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{π}{2}$＜α＜π，$sinα=\frac{4}{5}$，利用同角三角函數(shù)間關(guān)系可求得$tanα=-\frac{4}{3}$，再利用誘導(dǎo)公式即可求得$\frac{sin（2π-α）tan（π+α）cos（-π+α）}{{sin（\frac{π}{2}-α）cos（\frac{π}{2}+α）}}$的值；
（2）對整數(shù)n分n為偶數(shù)（n=2k，k∈Z）與奇數(shù)（n=2k+1，k∈Z）討論，利用誘導(dǎo)公式即可化簡$\frac{sin（α+nπ）+sin（α-nπ）}{sin（α+nπ）cos（α-nπ）}$．

解答 解：（1）∵$\frac{π}{2}＜α＜π$，sinα=$\frac{4}{5}$，∴cosα=$-\frac{3}{5}$，
∴$tanα=-\frac{4}{3}$，
∴原式=$\frac{-sinαtanα（-cosα）}{cosα（-sinα）}$=$-tanα=\frac{4}{3}$．
（Ⅱ）（1）當(dāng)n=2k，k∈Z時，
原式=$\frac{sin（α+2kπ）+sin（α-2kπ）}{sin（α+2kπ）cos（α-2kπ）}=\frac{sinα+sinα}{sinαcosα}=\frac{2sinα}{sinαcosα}=\frac{2}{cosα}$； …（8分）
（2）當(dāng)n=2k+1，k∈Z時，
$\left.\begin{array}{l}{原式=\frac{sin[α+（2k+1）π]+sin[α-（2k+1）π]}{sin[α+（2k+1）π]cos[α-（2k+1）π]}}\end{array}\right.$
=$\left.\begin{array}{l}{\;}\\{\frac{sin（α+π）+sin（α-π）}{sin（α+π）cos（α-π）}=\frac{-sinα-sin（π-α）}{-sinαcos（π-α）}=\frac{-2sinα}{sinαcosα}=-\frac{2}{cosα}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)n=2k，k∈Z時，$原式=\frac{2}{cosα}$
當(dāng)n=2k+1，k∈Z時，$原式=-\frac{2}{cosα}$…（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，熟練掌握同角三角函數(shù)間關(guān)系式與誘導(dǎo)公式是化簡的關(guān)鍵，屬于中檔題．