Question

已知函數(shù)f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），函數(shù)f（x）的圖象恒在x軸上方，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）因?yàn)閷?duì)任意的x∈[1，+∞），函數(shù)f（x）的圖象恒在x軸上方，所以函數(shù)f（x）＞0對(duì)x≥1恒成立，轉(zhuǎn)化為f（x）_min＞0，借助（Ⅰ）問(wèn)結(jié)論可求．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=4x-4+lnx（4x-4）=4（x-1）（lnx+1），（x＞0）．
f′（x）＞0，則x＞1或0＜x＜

1

e

；f′（x）＜0，則

1

e

＜x＜1，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，

1

e

），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（

1

e

，1），
所以x=

1

e

時(shí)，函數(shù)取得極大值為-

1

e2

+

4

e

，x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值為1．
（Ⅱ）因?yàn)閷?duì)任意的x∈[1，+∞），函數(shù)f（x）的圖象恒在x軸上方，所以函數(shù)f（x）＞0對(duì)x≥1恒成立，
f′（x）=4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）．
可得當(dāng)0＜a≤

1

e

時(shí)，f（x）在，[1，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）_min=f（1）＞0，成立，故0＜a≤

1

e

．
當(dāng)

1

e

＜a≤1，則f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=1＞0恒成立，符合要求．
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，（a，+∞）上單調(diào)遞增，則
f（x）_min=f（a）＞0，即（2a²-4a²）lna+a²＞0，1＜a＜

e

．
綜上所述，0＜a＜

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、最值問(wèn)題的有力工具．