橢圓
x2
4
+
y2
3
=1內(nèi)有一點(diǎn)P（1，-1），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓上有一動點(diǎn)M，則|MP|+|MF|的取值范圍為
 
．
分析：設(shè)F'為橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)MF'，作過P、F'的直線交橢圓于M1、M2兩點(diǎn)．根據(jù)橢圓的定義算出|MP|+|MF|=|MP|+（2a-|MF'|）=4+（|MP|-|MF'|），由平面幾何知識得-|PF'|≤|MP|-|MF'|≤|PF'|，再利用兩點(diǎn)間的距離公式加以計算，即可得到|MP|+|MF|的取值范圍．
解答：精英家教網(wǎng)解：設(shè)F'為橢圓的左焦點(diǎn)，連結(jié)MF'，作過P、F'的直線交橢圓于
M1、M2兩點(diǎn)，如圖所示
∵
x2
4
+
y2
3
=1中，a=2，b=
3
，
∴c=
a2-b2
=1，可得F（1，0），F(xiàn)'（-1，0）．
由橢圓的定義，得|MF|+|MF'|=2a=4，
∴|MP|+|MF|=|MP|+（4-|MF'|）=4+（|MP|-|MF'|）
由平面幾何知識，得-|PF'|≤|MP|-|MF'|≤|PF'|，
∴當(dāng)M與M1重合時，|MP|-|MF'|達(dá)到最大值|PF'|；當(dāng)M與M2重合時，|MP|-|MF'|達(dá)到最小值-|PF'|．
由|PF'|=
(1+1)2+(-1-0)2
=
5
，可得|MP|-|MF'|的最大值為
5
，最小值為-
5
．
∴|MP|+|MF|=4+（|MP|-|MF'|）的取值范圍為[4-
5
，4+
5
]．
故答案為：[4-
5
，4+
5
]．
點(diǎn)評：本題給出橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是橢圓內(nèi)一個定點(diǎn)，求橢圓上動點(diǎn)M到P、F兩點(diǎn)的距離和的范圍．著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
4
+
y2
3
=1中，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，且∠PF1F2=120°，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

∫
2
0
3(1-
x2
4
)
dx=
3
2
π
3
2
π
，該定積分的幾何意義是
橢圓
x2
4
+
y2
3
=1面積的
1
4
橢圓
x2
4
+
y2
3
=1面積的
1
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

點(diǎn)M是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓左右焦點(diǎn)，則滿足|MF1|=3|MF2|的點(diǎn)M坐標(biāo)為
（±2，0）
（±2，0）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•四川）橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)△FAB的周長最大時，△FAB的面積是
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xoy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（-1，0）和C（1，0），頂點(diǎn)B在橢圓
x2
4
+
y2
3
=1上，則
sinA+sinC
sinB
的值是
2
2
．

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