Question

19．雙曲線$\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1$上一點(diǎn)P到它的一個焦點(diǎn)的距離等于3，那么點(diǎn)P與兩個焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的周長等于42．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出雙曲線的a，b，c，再確定P的位置為上支上一點(diǎn)，再由雙曲線的定義，即可得到所求的周長．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：$\frac{y^2}{64}-\frac{x^2}{36}=1$，
其焦點(diǎn)在y軸上，且a=8，b=6，c=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
設(shè)P到它的上焦點(diǎn)F的距離等于3，
由于3＞c-a=2，3＜c+a=18，則P為上支上一點(diǎn)，
則由雙曲線的定義可得PF'-PF=2a=16，（F'為下焦點(diǎn)）．
則有PF'=19．
則點(diǎn)P與兩個焦點(diǎn)所構(gòu)成三角形的周長為PF+PF'+FF'=3+19+20=42；
故答案為：42．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，注意要先確定點(diǎn)P的位置．