Question

【題目】已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).

（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)；

（Ⅲ）若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，和點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，得， ，再由點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求得點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）由兩圓的方程，相減得到直線的方程，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解的長(zhǎng)；

（Ⅲ）根據(jù)圓的性質(zhì)得 ，由為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而可求得的最小值，即可得到的最小值。

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)的坐標(biāo)為，

且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，

于是有， ①

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程

即： ②

把①代入②，得

整理，得

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（Ⅱ）圓與圓的方程

相減得：

由圓的圓心為，半徑為1，且到直線

的距離

則公共弦長(zhǎng)

（Ⅲ）是以為圓心，半徑的圓

是以為圓心，半徑的圓

所以 ①

當(dāng)且僅當(dāng)在線段且在線段上時(shí)，取等號(hào).

設(shè)為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)

則代入①式得：

當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，取等號(hào).

所以的最小值為.