【題目】已知線段的端點的坐標是，端點在圓上運動.

（Ⅰ）求線段的中點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設圓與曲線的兩交點為，求線段的長；

（Ⅲ）若點在曲線上運動，點在軸上運動，求的最小值.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設點的坐標為，點的坐標為，根據(jù)點坐標，和點是線段的中點，得， ，再由點在圓上運動，求得點的軌跡方程，進而可求得點點的軌跡的方程；

（Ⅱ）由兩圓的方程，相減得到直線的方程，根據(jù)圓的弦長公式，即可求解的長；

（Ⅲ）根據(jù)圓的性質(zhì)得 ，由為關于軸的對稱點，進而可求得的最小值，即可得到的最小值。

試題解析：

（Ⅰ）設點的坐標為，點的坐標為，由于點的坐標為，

且點是線段的中點，所以，

于是有， ①

因為點在圓上運動，

所以點的坐標滿足方程

即： ②

把①代入②，得

整理，得

所以點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）圓與圓的方程

相減得：

由圓的圓心為，半徑為1，且到直線

的距離

則公共弦長

（Ⅲ）是以為圓心，半徑的圓

是以為圓心，半徑的圓

所以 ①

當且僅當在線段且在線段上時，取等號.

設為關于軸的對稱點

則代入①式得：

當且僅當共線時，取等號.

所以的最小值為.

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