Question

【題目】為響應(yīng)“生產(chǎn)發(fā)展、生活富裕、鄉(xiāng)風(fēng)文明、村容整潔、管理民主”的社會主義新農(nóng)村建設(shè)，某自然村將村邊一塊廢棄的扇形荒地（如圖）租給蜂農(nóng)養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜.已知扇形AOB中，，百米），荒地內(nèi)規(guī)劃修建兩條直路AB，OC，其中點(diǎn)C在弧AB上（C與A，B不重合），在小路AB與OC的交點(diǎn)D處設(shè)立售蜜點(diǎn)，圖中陰影部分為蜂巢區(qū)，空白部分為蜂源植物生長區(qū).設(shè)，蜂巢區(qū)的面積為S（平方百米）.

（1）求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)為何值時，蜂巢區(qū)的面積S最小，并求此時S的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)θ為時,蜂巢區(qū)的面積S最小,S的最小值為+3.

【解析】

(1)AO=,,由余弦定理得AB=6,由正弦定理得，從而可得，由蜂巢區(qū)的面積：S=S△AOD+S扇形COBS△BDO可得S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式.

(2)對求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)可得S的最小值只在θ=時取得，此時S=+3，即為蜂巢區(qū)的面積的最小值.

(1)AO=,,

由余弦定理得,

在△BDO中, ，

由正弦定理得,

∴，

∴，

∴蜂巢區(qū)的面積：

S=S△AOD+S扇形COBS△BDO

，

整理，得S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為：

.

(2)對求導(dǎo),得，

令S′=0,又，解得θ=，

當(dāng)θ∈時,S′<0，S遞減，

當(dāng)θ∈時,S′>0，S遞增，

綜上所述,S的最小值只可在θ=時取得，

當(dāng)θ=時,S=+3，

∴當(dāng)θ為時,蜂巢區(qū)的面積S最小,S的最小值為+3.