【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形,和是兩個(gè)邊長為2的正三角形,.
(1)求證:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)設(shè)是的中點(diǎn),連接,由等腰三角形的性質(zhì)可得,利用勾股定理可得,由線面垂直的判定定理可得平面,再由面面垂直的判定定理可得結(jié)果;(2)過分別做的平行線,以它們做軸,以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出直線的方向向量,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量,由空間向量夾角的余弦公式可得結(jié)果.
(1)∵△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長為2的正三角形,
∴PB=PD=2,又BO=OD,∴PO⊥BD.
∵AB⊥AD,
∴在Rt△ABD中,由勾股定理可得,BD==2.∴OB=.
在Rt△POB中,由勾股定理可得,PO==,
在Rt△ABD中,AO==.在△PAO中,PO2+OA2=4=PA2,
由勾股定理的逆定理得PO⊥AO.
又∵BD∩AO=O,∴PO⊥平面ABCD∵PO平面PBD,∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PO⊥平面ABCD,又AB⊥AD,
∴過O分別做AD,AB的平行線,
以它們做x,y軸,以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
由已知得:A(﹣1,﹣1,0),B(﹣1,1,0),D(1,﹣1,0),C(1,3,0,P(0,0,)
則,.
設(shè)平面PDC的法向量為,直線CB與平面PDC所成角θ,
則,即,解得,
令z1=1,則平面PDC的一個(gè)法向量為,
又,
則,
∴直線CB與平面PDC所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件,按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件,量其內(nèi)徑尺寸,得結(jié)果如下表:
甲廠:
分組 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
頻數(shù) | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
乙廠:
分組 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
頻數(shù) | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
(1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率;
(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表,并問是否有的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.
甲 廠 | 乙 廠 | 合計(jì) | |
優(yōu)質(zhì)品 | |||
非優(yōu)質(zhì)品 | |||
合計(jì) |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.
(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在圓外,過點(diǎn)作圓的切線,設(shè)切點(diǎn)為.
(1)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處,求此時(shí)切線的方程;
(2)求滿足的點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若對(duì)于任意x∈R都有f(x)+2f(-x)=3cosx-sinx,則函數(shù)f(2x)圖象的對(duì)稱中心為( )
A. (kπ-,0)(k∈Z) B. (-,0)(k∈Z)
C. (kπ-,0)(k∈Z) D. (-,0)(k∈Z)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)“生產(chǎn)發(fā)展、生活富裕、鄉(xiāng)風(fēng)文明、村容整潔、管理民主”的社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè),某自然村將村邊一塊廢棄的扇形荒地(如圖)租給蜂農(nóng)養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜.已知扇形AOB中,,百米),荒地內(nèi)規(guī)劃修建兩條直路AB,OC,其中點(diǎn)C在弧AB上(C與A,B不重合),在小路AB與OC的交點(diǎn)D處設(shè)立售蜜點(diǎn),圖中陰影部分為蜂巢區(qū),空白部分為蜂源植物生長區(qū).設(shè),蜂巢區(qū)的面積為S(平方百米).
(1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)為何值時(shí),蜂巢區(qū)的面積S最小,并求此時(shí)S的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)若在上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè),若在上至少存在一個(gè),使得成立,求的取值范圍.
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