Question

5．（1）已知tanα=$\frac{1}{3}$，求2sin²α+3sinαcosα+4cos²α的值；
（2）已知a＞0，ω＞0，函數(shù)f（x）=asinωx+$\sqrt{3}$cosωx的最小正周期為π，對(duì)于任意的x∈R，f（x）≤f（$\frac{π}{12}$）恒成立，求f（x）的零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）把2sin²α+3sinαcosα+4cos²α的分母“1”化為sin²α+cos²α，然后分子分母同時(shí)除以cos²α，轉(zhuǎn)化為含有正切的代數(shù)式求解；
（2）利用輔助角公式化積，由周期求得ω，再由對(duì)于任意的x∈R，f（x）≤f（$\frac{π}{12}$）恒成立可得函數(shù)的最大值為f（$\frac{π}{12}$），求出a值，得到函數(shù)解析式，則f（x）的零點(diǎn)可求．

解答 解：（1）∵tanα=$\frac{1}{3}$，
∴$2{sin^2}α+3sinαcosα+4{cos^2}α=\frac{{2{{sin}^2}α+3sinαcosα+4{{cos}^2}α}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}$
=$\frac{{2{{tan}^2}α+3tanα+4}}{{1+{{tan}^2}α}}$=$\frac{2×（\frac{1}{3}）^{2}+3×\frac{1}{3}+4}{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{47}{10}$；
（2）f（x）=asinωx+$\sqrt{3}$cosωx=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（ωx+φ），
由f（x）的最小正周期為π，得ω=2，
即$f（x）=asin2x+\sqrt{3}cos2x$=$\sqrt{{a}^{2}+3}sin$（2x+φ），
由題意知f（x）最大值為$\sqrt{{a^2}+3}=f（\frac{π}{12}）$，
即$\sqrt{{a^2}+3}=\frac{a}{2}+\frac{3}{2}$，解得a=1，
∴$f（x）=sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
由f（x）=0，即$sin（2x+\frac{π}{3}）=0$，得$2x+\frac{π}{3}=kπ$，
即$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴f（x）的零點(diǎn)為x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角恒等變換中的應(yīng)用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的求法，是中檔題．