Question

13．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}b{x^2}$+x，（a，b∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x₁=1，x₂=2處取得極值，求a，b的值，并說明分別取得的是極大值還是極小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率為1，存在x∈[1，e]，使得f（x）-x≤（a+2）（-$\frac{1}{2}$x²+x）成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ） 若h（x）+x=f（x）+（1-$\frac{2}$）x²，求h（x）在[1，e]上的最小值及相應的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，計算f′（1），f′（2）的值，求出a，b，列出表格，求出函數(shù)的單調區(qū)間，求出極值點；
（Ⅱ）求出a=-b，問題轉化為a≥$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]），根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可；
（Ⅲ）求出h（x）=alnx+x²，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的最小值，從而得到對應的x的值即可．

解答 解：（Ⅰ）因為f′（x）=$\frac{a}{x}$+bx+1，f′（1）=a+b+1=0①，f′（2）=$\frac{1}{2}$a+2b+1=0②．
由①②解得：a=-$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{1}{3}$．
此時f（x）=-$\frac{2}{3}$lnx-$\frac{1}{6}$x²+x，f′（x）=$\frac{-（x-1）（x-2）}{3x}$，

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	極小	增	極大	減

所以，在x=1取得極小值，在x=2取得極大值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線的斜率為1，則f′（1）=a+b+1=1，則a=-b，
故f（x）=alnx-$\frac{a}{2}$x²+x，
若f（x）-x=alnx-$\frac{a}{2}$x²≤（a+2）（-$\frac{1}{2}$x²+x）成立，則a（x-lnx）≥x²-2x成立，
∵x∈[1，e]，∴l(xiāng)nx≤1≤x且等號不能同時取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0．
因而a≥$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]）．
令g（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$（x∈[1，e]），又g′（x）=$\frac{（x-1）（x+2-2lnx）}{{（x-lnx）}^{2}}$，
當x∈[1，e]時，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
從而g′（x）≥0（僅當x=1時取等號），所以g（x）在[1，e]上為增函數(shù)．
故g（x）的最大值為g（e）=$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$，所以實數(shù)a的取值范圍是[$\frac{{e}^{2}-2e}{e-1}$，+∞）．
（Ⅲ）h（x）+x=f（x）+（1-$\frac{2}$）x²⇒h（x）=alnx+x²，
h′（x）=$\frac{{2x}^{2}+a}{x}$（x＞0），當x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]，
若a≥-2，h′（x）在[1，e]上非負（僅當a=-2，x=1時，h′（x）=0），
故函數(shù)h（x）在[1，e]上是增函數(shù)，此時[h（x）]_min=f（1）=1，
若-2e²＜a＜-2，當x=$\sqrt{\frac{-a}{2}}$時，h′（x）=0；
當1≤x＜$\sqrt{\frac{-a}{2}}$時，h′（x）＜0，此時h（x）是減函數(shù)；
當$\sqrt{\frac{-a}{2}}$＜x≤e時，h′（x）＞0，此時h（x）是增函數(shù)．
故[h（x）]_min=f（$\sqrt{\frac{-a}{2}}$）=$\frac{a}{2}$ln（-$\frac{a}{2}$）-$\frac{a}{2}$，
若a≤-2e²，h′（x）在[1，e]上非正（僅當a=-2e²，x=e時，f′（x）=0），
故函數(shù)h（x）在[1，e]上是減函數(shù)，此時[h（x）]_min=h（e）=a+e²，
綜上可知，當a≥-2時，h（x）的最小值為1，相應的x值為1；
當-2e²＜a＜-2時，h（x）的最小值為$\frac{a}{2}$ln（-$\frac{a}{2}$）-$\frac{a}{2}$，相應的x值為$\sqrt{\frac{-a}{2}}$；
當a≤-2e²時，h（x）的最小值為a+e²，相應的x值為e．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想，是一道綜合題．