Question

4．[B]在幾何中可以類比平面幾何的結(jié)論推理空間幾何的結(jié)論，如平面內(nèi)的三點(diǎn)共線類比空間中的四點(diǎn)共面．
（1）已知點(diǎn)A，B，C是平面內(nèi)三點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ，使得$\overrightarrow{AB}$=$λ\overrightarrow{AC}$成立，則點(diǎn)A，B，C共線．類比上述結(jié)論，寫出空間中四點(diǎn)共面的結(jié)論；
（2）已知（1）結(jié)論的逆命題正確，請利用其解決以下問題：已知點(diǎn)A，B，C，D是空間中共面的四點(diǎn)，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=1，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，試用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AD}$．

Answer 1

分析 （1）類比平面幾何的結(jié)論推理空間幾何的結(jié)論，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），利用$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=0，得出μ=4λ，利用等面積，求出λ，μ的值，即可用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AD}$．

解答 解：（1）已知點(diǎn)A，B，C，D是空間中四點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$成立，則點(diǎn)A，B，C，D共面；
（2）設(shè)$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=-λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+μ${\overrightarrow{AC}}^{2}$=-4λ+μ=0，
∴μ=4λ．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}|AB||AC|$=$\frac{1}{2}|BC||AD|$，
∴|AD|=$\frac{|AB||AC|}{|BC|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴|$\overrightarrow{AD}$|²=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）²=4λ²+μ²=20λ²=$\frac{4}{5}$，
∴λ=$\frac{1}{5}$或λ=-$\frac{1}{5}$（舍去）
∴μ=$\frac{4}{5}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查類比推理．類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．