Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，PD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M為棱PB的中點．

(1)證明：DM平面PBC；

(2)求二面角A—DM—C的余弦值．

 

Answer 1

(1) (2)

【解析】

試題分析：(1) 連接，取的中點，連接，

要證平面，只要證，即可，由題設(shè)可得是等腰的底邊上的中線，所以；另一方面由又可得出

考慮到平面 平面，；問題得證.

(2)根據(jù)空間圖形中已知的垂直關(guān)系，可以為坐標原點，射線為正半軸，建立如圖所示的直角坐標系，寫出點 ,分別求出平面 的一個法向量 和平面 的一個法向量，利用向的夾公式求二面角A—DM—C的余弦值

試題解析：

證明：連接，取的中點，連接，

由此知，即為直角三角形，故

又平面，故

所以，平面， 2分

又，為的中點

4分

5分

平面 6分

 

以為坐標原點，射線為正半軸，建立如圖所示的直角坐標系， 7分

則從而

設(shè)是平面的一個法向量，則

可取 8分

同理，設(shè)是平面的一具法向量,則

可取 9分

2分

顯然二面角的大小為鈍角，所以二面角的余弦值為. 12分

考點：1、直線與直線、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)；2、空間直角坐標系；3、空間向量的夾角公式；

4、二面角的概念與法向量的求法.