直線y=x+b(b≠0)與拋物線C:y=
1
2
x2交于A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)O為拋物線的頂點(diǎn),求b的值使得以線段AB為直徑的圓過原點(diǎn).
考點(diǎn):拋物線的簡單性質(zhì)
專題:平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)先將拋物線C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)而可得拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線與拋物線方程,可得x1+x2=2,x1x2=-2b,y1y2=b2,若以線段AB為直徑的圓過原點(diǎn),則
OA
OB
,則x1x2+y1y2=0,解得滿足條件的b值.
解答: 解:(1)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2=2y,
則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,
1
2
),
準(zhǔn)線方程為y=-
1
2
;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
x2=2y
y=x+b
得:x2-2x-2b=0,
則x1+x2=2,x1x2=-2b,則y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2,
若以線段AB為直徑的圓過原點(diǎn),則
OA
OB
,
∴x1x2+y1y2=b2-2b=0,
解得:b=2,或b=0
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是拋物線的簡單性質(zhì),向量垂直的充要條件,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)函數(shù)f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期為
3

(1)求ω的值;
(2)求函數(shù)f(x)的在[0,
π
3
]上的值域;
(3)若函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象向右平移
π
2
個單位長度得到,求y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間.

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1
4
(n2-4n)=0.
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(2)若m,n∈R且0≤m≤6,0≤n≤6,求上述方程有根的概率.

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直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn),則∠AOB大小為
 

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已知tanα=3,求下列各式的值:
(1)
4sinα-cosα
3sinα+5cosα
;
(2)
3
4
sin2α+
1
2
cos2α.

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已知車輪旋轉(zhuǎn)的角度與時間的平方成正比,如果車輛啟動后車輪轉(zhuǎn)動第一圈需要0.8s,求轉(zhuǎn)動開始后第3.2s時的瞬時角速度.

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已知函數(shù)f(x)=kx+b的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,
AB
=2
i
+2
j
,函數(shù)g(x)=x2-x-6;
(1)求k、b的值;
(2)當(dāng)滿足f(x)>g(x)時,求x的取值范圍.

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