如圖,在四棱錐M-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45°,DC-2,AB=4,MA=2,MA⊥平面ABCD.
(1)求證:BC⊥平面MAC;
(2)若點E滿足MC=2EC,求DE與平面ABCD所成角的正切值.
考點:直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)過點C作CF⊥AB于點F,則四邊形ADCF為矩形,AF=DC=BF=CF=2,BC=2
2
,從而AD=CF=2,AC=2
2
,進而BC⊥AC,由此能證明BC⊥平面MAC.
(Ⅱ)過點E作EG⊥AC于G,連接DG,則∠EDG為DE與平面ABCD所成角,由此能求出DE與平面ABCD所成角的正切值.
解答: (Ⅰ)證明:如圖,在直角梯形ABCD中,
過點C作CF⊥AB于點F,
則四邊形ADCF為矩形,所以AF=DC=2.
又AB=4,所以BF=2.在Rt△BFC中,
因為∠ABC=45°,所以CF=BF=2,BC=2
2

所以AD=CF=2,則AC=
AD2+CD2
=2
2

所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC,…(4分)
又MA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以MA⊥BC,
因為MA∩AC=A,所以BC⊥平面MAC.…(6分)
(Ⅱ)解:如圖,在平面MAC中,過點E作EG⊥AC于G,連接DG,
則∠EDG為DE與平面ABCD所成角,…(7分)
因為MC=4EC,MA=2,AC=2
2
,所以EG=
1
2
,CG=
2
2
,
在△CDG中,∠DCG=45°,DC=2,CG=
2
2
,
由余弦定理,得DG=
4+
1
2
-2×2×
2
2
cos45°
=
10
2
,…(10分)
在Rt△EDG中,tan∠EDG=
EG
DG
=
1
2
10
2
=
10
10
,
故DE與平面ABCD所成角的正切值為
10
10
.…(12分)
點評:本題考查直線與平面垂直的證明,考查直線與平面所成角的正切值的求法,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習冊系列答案
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比較大。(
1
3
)-0.25
 
(
1
3
)-0.27
(在空格處填上“<”或“>”號).

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若集合M={x|x2≥4},P={x|
x-3
x+1
≤0},則M∪P=
 

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復數(shù)x2-4+(x2+3x+2)i是實數(shù),則實數(shù)x等于
 

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如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,PD⊥底面ABCD,點E在棱PB上.
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(Ⅱ)當PD=
2
AB且E為PB的中點時,求AE與平PDB所成的角的正切值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若直線與平面所成的角為0°,則該直線與平面的位置關(guān)系是(  )
A、平行B、相交
C、直線在平面內(nèi)D、平行或直線在平面內(nèi)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中,P是A1B1上一點,且PB1=
1
4
A1B1,則四棱錐PBCC1B1的體積為( 。
A、
8
3
B、
16
3
C、4
D、16

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)集合A={x|x2-4x<0},B={x|x-2>0},則A∩B=( 。
A、(0,2)
B、(0,4)
C、(4,+∞)
D、(2,4)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項為a(a≠0),前n項和為f(-
a+1
a
)=-ae-
a+1
a
,且有Sn+1=tSn+a(t≠0),bn=Sn+1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)當t=1時,若對任意n∈N*,都有|bn|≥|b5|,求a的取值范圍;
(Ⅲ)當t≠1時,若cn=2+b1+b2+…+bn,求能夠使數(shù)列{cn}為等比數(shù)列的所有數(shù)對(a,t).

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