已知數(shù)列{an}的首項為a(a≠0),前n項和為f(-
a+1
a
)=-ae-
a+1
a
,且有Sn+1=tSn+a(t≠0),bn=Sn+1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)當(dāng)t=1時,若對任意n∈N*,都有|bn|≥|b5|,求a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)t≠1時,若cn=2+b1+b2+…+bn,求能夠使數(shù)列{cn}為等比數(shù)列的所有數(shù)對(a,t).
考點:數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由已知條件推導(dǎo)出{an}是首項為a,公比為t的等比數(shù)列,由此能求出an=atn-1
(Ⅱ)當(dāng)t=1時,Sn=an,bn=an+1,當(dāng)a>0時,不合題意;當(dāng)a<0時,由題意知:b4>0,b6<0,且
b4≥|b5|
-b6≥|b5|
,由此能求出a的取值范圍.
(Ⅲ)bn=1+
a-atn
1-t
,{cn}為等比數(shù)列,從而
2-
at
(1-t)2
=0
1-t+a
1-t
=0
,由此能求出滿足條件的數(shù)對是(1,2).
解答: 解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時,由S2=tS1+a,解得a2=at,
當(dāng)n≥2時,Sn=tSn-1+a,
∴(Sn+1-Sn)=t(Sn-Sn-1),即an+1=tan
又a1=a≠0,綜上有
an+1
an
=t(n∈N*)
,
即{an}是首項為a,公比為t的等比數(shù)列,
an=atn-1
(Ⅱ)當(dāng)t=1時,Sn=an,bn=an+1,
當(dāng)a>0時,{bn}單調(diào)遞增,且bn>0,不合題意;
當(dāng)a<0時,{bn}單調(diào)遞減,由題意知:b4>0,b6<0,
b4≥|b5|
-b6≥|b5|

解得-
2
9
≤a≤-
2
11

綜上a的取值范圍為[-
2
9
,-
2
11
]

(Ⅲ)∵t≠1,∴bn=1+
a-atn
1-t
,
cn=2+(1+
a
t-1
)n-
a
1-t
(t+t2+…+tn)=2+(1+
a
t-1
)n-
at(1-tn)
(1-t)2

=2-
at
(1-t)2
+(1+
a
t-1
)n+
atn+1
(1-t)2

由題設(shè)知{cn}為等比數(shù)列,
2-
at
(1-t)2
=0
1-t+a
1-t
=0
,
解得
a=1
t=2

即滿足條件的數(shù)對是(1,2).
點評:本題考查數(shù)列{an}的通項公式的求法,考查a的取值范圍的求法,考查能夠使數(shù)列{cn}為等比數(shù)列的所有數(shù)(a,t)的求法,解題時要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.
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