Question

已知數(shù)列{a_n}的首項為a（a≠0），前n項和為f(-

a+1

a

)=-ae-

a+1

a

，且有S_n+1=tS_n+a（t≠0），b_n=S_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當(dāng)t=1時，若對任意n∈N^*，都有|b_n|≥|b₅|，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)t≠1時，若c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，求能夠使數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列的所有數(shù)對（a，t）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出{a_n}是首項為a，公比為t的等比數(shù)列，由此能求出an=atn-1．
（Ⅱ）當(dāng)t=1時，S_n=an，b_n=an+1，當(dāng)a＞0時，不合題意；當(dāng)a＜0時，由題意知：b₄＞0，b₆＜0，且

b4≥|b5| -b6≥|b5|

，由此能求出a的取值范圍．
（Ⅲ）bn=1+

a-atn

1-t

，{c_n}為等比數(shù)列，從而

2- at (1-t)2 =0 1-t+a 1-t =0

，由此能求出滿足條件的數(shù)對是（1，2）．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，由S₂=tS₁+a，解得a₂=at，
當(dāng)n≥2時，S_n=tS_n-1+a，
∴（S_n+1-S_n）=t（S_n-S_n-1），即a_n+1=ta_n
又a₁=a≠0，綜上有

an+1

an

=t(n∈N*)，
即{a_n}是首項為a，公比為t的等比數(shù)列，
∴an=atn-1．
（Ⅱ）當(dāng)t=1時，S_n=an，b_n=an+1，
當(dāng)a＞0時，{b_n}單調(diào)遞增，且b_n＞0，不合題意；
當(dāng)a＜0時，{b_n}單調(diào)遞減，由題意知：b₄＞0，b₆＜0，
且

b4≥|b5| -b6≥|b5|

解得-

2

9

≤a≤-

2

11

，
綜上a的取值范圍為[-

2

9

，-

2

11

]．
（Ⅲ）∵t≠1，∴bn=1+

a-atn

1-t

，
∴cn=2+(1+

a

t-1

)n-

a

1-t

(t+t2+…+tn)=2+(1+

a

t-1

)n-

at(1-tn)

(1-t)2

=2-

at

(1-t)2

+(1+

a

t-1

)n+

atn+1

(1-t)2

由題設(shè)知{c_n}為等比數(shù)列，
∴

2- at (1-t)2 =0 1-t+a 1-t =0

，
解得

a=1 t=2

，
即滿足條件的數(shù)對是（1，2）．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列{a_n}的通項公式的求法，考查a的取值范圍的求法，考查能夠使數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列的所有數(shù)（a，t）的求法，解題時要注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．