Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當(dāng)PD=

2

AB且E為PB的中點(diǎn)時，求AE與平PDB所成的角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥BD，AC⊥PD，由此能證明平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，由AO⊥BD，AO⊥PD，得∠AEO即為所求線面角，由此能求出AE與平PDB所成的角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∴AC⊥平面PBD，
又∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE，設(shè)AB=a，
則PD=

2

a，OE=

2

2

a，AO=

3

2

a，
∵AO⊥BD，AO⊥PD，所以AO⊥平面PBD，
∴OE為AE在平面PBD上的射影．，
∴∠AEO即為所求線面角．
tan∠AEO=

OA

OE

=

3 2 a

2 2 a

=

6

2

，
∴AE與平面PDB所成的角的正切值為

6

2

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．