Question

1．已知單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為60°，則向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$與$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由題意分別求出|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{7}{2}$，再根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算即可．

解答 解：∵單位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角為60°，
∴|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$²=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=4+1+4×$\frac{1}{2}$=7，
$\overrightarrow$²=9$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$²-12$\overrightarrow{{e}_{2}}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=9+4-12×$\frac{1}{2}$=7，
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{7}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$）（2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$）=-6$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$²+$\overrightarrow{{e}_{2}}$•$\overrightarrow{{e}_{1}}$=-6+2+$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{2}$，
設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$與$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$的夾角為θ，則 0≤θ≤π，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=-$\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{2π}{3}$，
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量的夾角公式的應(yīng)用，求向量的模的方法，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．