Question

11．已知f′（x）是函數(shù)f（x），（x∈R）的導(dǎo)數(shù)，滿足f′（x）=-f（x），且f（0）=2，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-lnf³（x）的一個零點(diǎn)為x₀，則以下正確的是（　�。�

• A． x₀∈（-4，-3）
• B． x₀∈（-3，-2）
• C． x₀∈（-2，-1）
• D． x₀∈（-1，0）

Answer 1

分析 求出f（x）的表達(dá)式，得到g（x）的表達(dá)式，設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求出h（0）和h（-1）的值，從而求出x₀的范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=ke^-x，
則f（x）滿足f′（x）=-f（x），
而f（0）=2，∴k=2，
∴f（x）=2e^-x，
∴g（x）=3lnf（x）=3（-x+ln2）=-3x+3ln2，
設(shè)h（x）=f（x）-g（x），
則h（x）=2e^-x+3x-3ln2，
∴h（0）=2-3ln2＜0，h（-1）=2e-3-3ln2＞0，
即在（-1，0）上存在零點(diǎn)，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．