Question

13．某校高一舉行了一次數(shù)學競賽，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分組作出頻率分布直方圖，已知得分在[50，60），[90，100]的頻數(shù)分別為8，2．
（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y的值；
（2）估計本次競賽學生成績的中位數(shù)；
（3）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生中隨機抽取2名學生，求所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）由題意先求出樣本容量，由此能求出n和頻率分布直方圖中的x，y的值．
（2）設本次競賽學生成績的中位數(shù)為m，由頻率分布直方圖列出方程，能求出本次競賽學生成績的中位數(shù)．
（3）由題意可知，分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學生有5人，分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學生有2人，由此利用列舉法能求出所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由題意可知，樣本容量n=$\frac{8}{0.016×10}$=50，…（2分）
$y=\frac{2}{50×10}=0.004$，
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．…（4分）
（2）設本次競賽學生成績的中位數(shù)為m，
則[0.016+0.03]×10+（m-70）×0.040=0.5，
解得m=71，
∴本次競賽學生成績的中位數(shù)為71．…（8分）
（3）由題意可知，分數(shù)在[80，90）內(nèi)的學生有5人，
記這5人分別為a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，
分數(shù)在[90，100]內(nèi)的學生有2人，記這2人分別為b₁，b₂．
抽取的2名學生的所有情況有21種，分別為：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，a₅），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，a₃），
（a₂，a₄），（a₂，a₅），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，a₄），（a₃，a₅），（a₃，b₁），
（a₃，b₂），（a₄，a₅），（a₄，b₁），（a₄，b₂），（a₅，b₁），（a₅，b₂），（b₁，b₂）．          …（10分）
其中2名同學的分數(shù)都不在[90，100]內(nèi)的情況有10種，分別為：
（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，a₄），（a₁，a₅），（a₂，a₃），
（a₂，a₄），（a₂，a₅），（a₃，a₄），（a₃，a₅），（a₄，a₅）．
∴所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率$p=1-\frac{10}{21}=\frac{11}{21}$．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．