Question

3．己知三棱錐的三視圖如圖所示，其主視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為1，$\frac{3}{2}$，3，則該三棱錐的外接球體積為（　　）

• A． $\frac{28\sqrt{14}}{3}$π
• B． $\frac{56\sqrt{14}}{3}$π
• C． $\frac{7\sqrt{14}}{3}$π
• D． $\frac{7\sqrt{14}}{6}$

Answer 1

分析 幾何體是一個(gè)三棱錐，一條側(cè)棱與底面垂直，底面是一個(gè)直角三角形，根據(jù)正視圖、側(cè)視圖、俯視圖面積分別是1，$\frac{3}{2}$，3．求出三條邊的長(zhǎng)度，這個(gè)三棱錐的外接球也是以這個(gè)三棱錐三條側(cè)棱為棱的長(zhǎng)方體的外接球，做出長(zhǎng)方體的對(duì)角線，求出三棱錐的外接球體積．

解答 解：由題意知幾何體是一個(gè)三棱錐，一條側(cè)棱與底面垂直，底面是一個(gè)直角三角形，
∵正視圖、側(cè)視圖、俯視圖面積分別是1，$\frac{3}{2}$，3，
設(shè)出三條互相垂直的棱長(zhǎng)是x，y，z，
有xz=2，yz=3，xy=6，
∴x=2，y=3，z=1
這個(gè)三棱錐的外接球也是以這個(gè)三棱錐三條側(cè)棱為棱的長(zhǎng)方體的外接球，
長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是$\sqrt{4+9+1}$=$\sqrt{14}$，三棱錐的外接球的半徑為$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴三棱錐的外接球體積是$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{3}$=$\frac{7\sqrt{14}}{3}$π，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球和幾何體之間的關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)三條側(cè)棱兩兩垂直的關(guān)系得到由這三條側(cè)棱構(gòu)成的長(zhǎng)方體，從而得到三棱錐的外接球體積．