Question

8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）在[0，2π]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的增區(qū)間，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）在[0，2π]上的值域．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象，
可得A=2，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$-$\frac{π}{6}$，∴ω=2．
再根據(jù)五點法作圖可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，可得y=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）x+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$） 的圖象；
再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$） 的圖象．
∵x∈[0，2π]，∴$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即y=g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的增區(qū)間，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．