Question

【題目】已知數(shù)列滿足．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）對任意給定的，是否存在（）使成等差數(shù)列？若存

在，用分別表示和（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由；

（3）證明：存在無窮多個三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其邊長為．

Answer 1

【答案】（1）; （2）當(dāng)時，不存在p，r；當(dāng)時，存在滿足題設(shè)；（3）證明見解析.

【解析】

（1）由可求出數(shù)列的通項公式；（2）分和兩種情況討論，根據(jù)題中條件求出，，的大小關(guān)系，再設(shè)，即可用表示和；（3）構(gòu)造三角形三邊分別為，，，然后用反證法證明任意兩個三角形互不相似，本題得證

（1）當(dāng)時，；

當(dāng)時，，

所以；

綜上所述，．

（2）當(dāng)時，若存在p，r使成等差數(shù)列，則，

因?yàn)?/span>，所以，與數(shù)列為正數(shù)相矛盾，因此，當(dāng)時不存在；

當(dāng)時，設(shè)，則，所以，

令，得，此時，，

所以，，

所以；

綜上所述，當(dāng)時，不存在p，r；當(dāng)時，存在滿足題設(shè).

（3）作如下構(gòu)造：，其中，

它們依次為數(shù)列中的第項，第項，第項，

顯然它們成等比數(shù)列，且，，所以它們能組成三角形．

由的任意性，這樣的三角形有無窮多個．

下面用反證法證明其中任意兩個三角形和不相似：

若三角形和相似，且，則，

整理得，所以，這與條件相矛盾，

因此，任意兩個三角形不相似．故命題成立．