Question

4．已知a＞b＞0，且m=a+$\frac{1}{（a-b）b}$．
（1）試利用基本不等式求m的最小值t；
（2）若實數(shù)x，y，z滿足x²+4y²+z²=t，求證：|x+2y+z|≤3．

Answer 1

分析 （1）m=a+$\frac{1}{（a-b）b}$=（a-b）+b+$\frac{1}{（a-b）b}$，結(jié)合基本不等式，可得m的最小值t；
（2）由柯西不等式得：[x²+（2y）²+z²]（1²+1²+1²）≥（x+2y+z）²，進而可證得：|x+2y+z|≤3．

解答 解：（1）由三個數(shù)的均值不等式得：
$m=（a-b）+b+\frac{1}{（a-b）b}≥3\root{3}{{（a-b）b•\frac{1}{（a-b）b}}}=3$
（當且僅當$a-b=b=\frac{1}{a-b}$即b=1，a=2時取“=”號），
故有t=3． （5分）
證明：（2）∵x²+4y²+z²=3，由柯西不等式得：[x²+（2y）²+z²]（1²+1²+1²）≥（x+2y+z）²
（當且僅當$\frac{x}{1}=\frac{2y}{1}=\frac{z}{1}$即$x=z=\frac{6}{5}，y=\frac{3}{5}$時取“=”號）
整理得：（x+2y+z）²≤9，即|x+2y+z|≤3．         （10分）

點評 本題考查的知識點是基本不等式和柯西不等式，難度中檔．