Question

10．在極坐標系中，設直線過點A（$\sqrt{3}$，$\frac{2π}{3}$），B（3，$\frac{π}{2}$），且直線與曲線C：ρ=2rsinθ（r＞0）有且只有一個公共點，求實數(shù)r的值．

Answer 1

分析 把極坐標及其極坐標方程化為直角坐標方程，利用直線與圓相切的充要條件即可得出．

解答 解：點A（$\sqrt{3}$，$\frac{2π}{3}$），B（3，$\frac{π}{2}$），分別化為直角坐標A$（\sqrt{3}cos\frac{2π}{3}，\sqrt{3}sin\frac{2π}{3}）$，B$（3cos\frac{π}{2}，3sin\frac{π}{2}）$，即A$（-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}）$，B（0，3）．
∴直線AB的方程為：y=$\frac{3-\frac{3}{2}}{0-（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}$x+3，化為：y=$\sqrt{3}x$+3．
直線與曲線C：ρ=2rsinθ（r＞0）化為：ρ²=2rρsinθ，可得直角坐標方程：x²+y²=2ry，配方為：x²+（y-r）²=r²，可得圓心C（0，r），半徑r．
∵直線與曲線C：ρ=2rsinθ（r＞0）有且只有一個公共點，
∴直線與圓C相切，∴$\frac{|-r+3|}{2}$=r，解得r=1．

點評 本題考查了極坐標及其極坐標方程化為直角坐標方程的方法、直線與圓相切的充要條件、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．