Question

20．如圖，已知單位圓x²+y²=1與x軸正半軸交于點(diǎn)P，當(dāng)圓上一動(dòng)點(diǎn)Q從P出發(fā)沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一周回到P點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)OQ掃過(guò)的扇形對(duì)應(yīng)的圓心角為x rad，當(dāng)0＜x＜2π時(shí)，設(shè)圓心O到直線PQ的距離為y，y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）是如圖所示的程序框圖中的①②兩個(gè)關(guān)系式
（Ⅰ）寫出程序框圖中①②處得函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）若輸出的y值為$\frac{1}{2}$，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)投影畫出圖象，結(jié)合圖形討論0＜x≤π和π＜x＜2π時(shí)，求出對(duì)應(yīng)y的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)y的值，討論0＜x≤π和π＜x＜2π時(shí)，求出對(duì)應(yīng)x的值，即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）如圖1所示

當(dāng)0＜x≤π時(shí)，∠POM=$\frac{x}{2}$，y=|OP|cos∠POM=cos$\frac{x}{2}$；
如圖2所示，當(dāng)π＜x＜2π時(shí)，∠POM=$\frac{π-x}{2}$，y=|OP|cos∠POM=cos$\frac{π-x}{2}$=sin$\frac{x}{2}$；
∴程序框圖中①的解析式為y=cos$\frac{x}{2}$；
②的解析式為y=sin$\frac{x}{2}$；
（Ⅱ）輸出的y值為$\frac{1}{2}$，
當(dāng)0＜x≤π時(shí)，y=cos$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{π}{3}$，
∴x=$\frac{2π}{3}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（cos$\frac{2π}{3}$，sin$\frac{2π}{3}$），即（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
當(dāng)π＜x＜2π時(shí)，y=sin$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{5π}{6}$，
∴x=$\frac{5π}{3}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（cos$\frac{5π}{3}$，sin$\frac{5π}{3}$），即（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．