Question

1．如圖，橢圓E的方程為$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），點O為坐標原點，點A，B分別是橢圓的右頂點和上頂點，點M在線段AB上，滿足BM=2MA，直線OM的斜率為$\frac{1}{4}$．
（1）求橢圓E的離心率e；
（2）設(shè)點C的坐標為（0，-b），N為線段AC的中點，點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標為$\frac{11}{5}$，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合比例性質(zhì)求得M坐標，再由直線OM的斜率為$\frac{1}{4}$，列式得到a，b的關(guān)系，結(jié)合隱含條件求得橢圓E的離心率e；
（2）由中點坐標公式可得A，C中點N的坐標，又點N關(guān)于直線AB的對稱點N′的縱坐標為$\frac{11}{5}$，利用NN′的中點在直線AB上，且NN′與AB垂直列式求得b，則a可求，橢圓E的方程可求．

解答 解：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），
∵BM=2MA，由比例性質(zhì)可得$M（{\frac{2a}{3}，\frac{3}}）$，
又∵直線OM的斜率為$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{\frac{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{4}$，即$\frac{2a}{3}=\frac{4b}{3}$，
∴a=2b，a²=4b²=4（a²-c²），則$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵C（0，-b），A（2b，0），
則由中點坐標公式可得$N（{b，-\frac{2}}）$，
直線$AB：\frac{x}{2b}+\frac{y}=1$，即x+2y-2b=0．
設(shè)N關(guān)于直線AB的對稱點是${N^'}（{{x_0}，\frac{11}{5}}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_0}+b}}{2}+2×\frac{{\frac{11}{5}-\frac{2}}}{2}-2b=0\\ \frac{{\frac{11}{5}-\frac{2}}}{{{x_0}-b}}=2\end{array}\right.$，消去x₀得b=2，則a=2b=4．
橢圓方程為：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓標準方程的求法，掌握點關(guān)于直線的對稱點的求法是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．