Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點．
求證：
（1）A₁C⊥B₁D₁
（2）C₁O∥面AB₁D₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）可由正方形的性質得到A₁C₁⊥B₁D₁，再由線面垂直的性質得到A₁A⊥B₁D₁，由線面垂直的判定定理得到B₁D₁⊥平面A₁ACC₁，再由性質即可得證；
（2）連接A₁C₁交B₁D₁于O₁，連接AO₁，證得四邊形OCC₁O₁是平行四邊形，即AO₁∥OC₁，再由線面平行的判定定理，即可得證．

解答： 證明：（1）由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，所以A₁C₁⊥B₁D₁，
又A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以A₁A⊥B₁D₁
又AA₁∩A₁C₁=A₁，
由線面垂直的判定定理，有B₁D₁⊥平面A₁ACC₁，
而A₁C?平面A₁ACC₁，
所以A₁C⊥B₁D₁；
（2）連接A₁C₁交B₁D₁于O₁，連接AO₁，
由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，所以AC∥A₁C₁，且O₁C₁=AO=

1

2

AC，
即四邊形OCC₁O₁是平行四邊形，
所以AO₁∥OC₁，
又AO₁?平面AB₁D₁，OC₁?平面AB₁D₁，
則C₁O∥面AB₁D₁．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關系：平行和垂直．考查線面平行和垂直的判定和性質定理的運用，考查空間想象能力，屬于中檔題．