Question

已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集為（0，5），且在區(qū)間[-1，4]上的最大值為12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的不等式：

2x2+(m-10)x-m2

f(x)

＞1（m＞0）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可設(shè)f（x）=ax（x-5），a＞0．再根據(jù)在區(qū)間[-1，4]上的最大值為f（-1）=12，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（2）關(guān)于x的不等式即

2x2+(m-10)x-m2

2x2-10x

＞1，即2mx（x-m）（x-5）＞0，分類討論求得它的解集．

解答： 解：（1）由題意可得，可設(shè)f（x）=ax（x-5），a＞0．
再根據(jù)在區(qū)間[-1，4]上的最大值為f（-1）=6a=12，求得 a=2，可得f（x）=2x（x-5）=2x²-10x．
（2）關(guān)于x的不等式：

2x2+(m-10)x-m2

f(x)

＞1（m＞0），即

2x2+(m-10)x-m2

2x2-10x

＞1，
即

mx-m2

2x2-10x

＞0，即 2mx（x-m）（x-5）＞0．
當(dāng)0＜m＜5時(shí)，求得它的解集為（0，m）∪（5，+∞）；
當(dāng)m≥5時(shí)，求得它的解集為（0，5）∪（m，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，分式不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．