Question

5．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為E，P為拋物線上任意一點(diǎn)，則$\frac{|PF|}{|PE|}$（　�。�

• A． 有最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 有最小值1
• C． 無最小值
• D． 最小值與p有關(guān)

Answer 1

分析 作PA⊥準(zhǔn)線l，垂足為A，則|PF|=|PA|，可得$\frac{|PF|}{|PE|}$=$\frac{|PA|}{|PE|}$=sin∠AEP．由題意直線PE與拋物線相切時(shí)，sin∠AEP取得最小值，求出切線的斜率，即可得出結(jié)論．

解答 解：作PA⊥準(zhǔn)線l，垂足為A，則|PF|=|PA|，
∴$\frac{|PF|}{|PE|}$=$\frac{|PA|}{|PE|}$=sin∠AEP．
由題意直線PE與拋物線相切時(shí)，sin∠AEP取得最小值．
設(shè)切線PE的方程為x=my-$\frac{p}{2}$，
代入y²=2px，可得y²-2pmy+p²=0
由△=（-2pm）²-4p²=0，可得m=±1，
∴sin∠AEP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{|PF|}{|PE|}$有最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用拋物線的定義正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．