Question

17．過雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左焦點(diǎn)F₁，作圓x²+y²=4的切線交雙曲線右支于點(diǎn)P，切點(diǎn)為T，PF₁的中點(diǎn)為M，則|MO|-|MT|=$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 利用坐標(biāo)原點(diǎn)是兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)，利用三角形的中位線的性質(zhì)得到MO用焦半徑表示；將MT用焦半徑表示；利用圓的切線與過切點(diǎn)的半徑垂直得到直角三角形；利用勾股定理及雙曲線的定義，求出所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的a=2，b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=3，
設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，
由O為FF₁中點(diǎn)，M為PF₁的中點(diǎn)，
可得MO為三角形PFF₁的中位線，
|MO|=$\frac{1}{2}$|PF|，
又|MT|=|PT|-|PM|=|PF₁|-|F₁T|-$\frac{1}{2}$|PF₁|=$\frac{1}{2}$|PF₁|-|F₁T|，
所以|MO|-|MT|=-$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF|）+|F₁T|=|F₁T|-a，
又a=2，
即有|F₁T|=$\sqrt{|O{F}_{1}{|}^{2}-4}$=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$．
所以|MO|-|MT|=$\sqrt{5}$-2．
故答案為：$\sqrt{5}$-2．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，在解決雙曲線中的有關(guān)中點(diǎn)問題時(shí)，要注意坐標(biāo)原點(diǎn)是兩個(gè)焦點(diǎn)的中點(diǎn)、解決與雙曲線的與焦點(diǎn)有關(guān)的問題常聯(lián)系雙曲線的定義．