Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n+1），則S_n-8a_n的最小值為-56．

Answer 1

分析 4S₃=3（a₃+a₄）=3（a₃+7），4S₂=2（a₂+a₃），4S₁=4a₁=a₁+a₂，解得：a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，…，可得a_n=2n-1，S_n．代入4S_n=n（a_n+a_n+1）驗(yàn)證成立，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵4S₃=3（a₃+a₄）=3（a₃+7），
4S₂=2（a₂+a₃），4S₁=4a₁=a₁+a₂，
解得：a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，…，∴a_n=2n-1．
可得S_n=$\frac{n（2n-1+1）}{2}$=n²．代入4S_n=n（a_n+a_n+1）驗(yàn)證成立，
∴S_n-8a_n=n²-8（2n-1）=（n-8）²-56，∴當(dāng)n=8時(shí)，S_n-8a_n取得最小值-56．
故答案為：-56．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．