Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=acosx+bcos2x+1．
（1）當(dāng)b=1，a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若a=1，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x函數(shù)f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若b=1，存在實(shí)數(shù)x使得函數(shù)|f（x）|≥a²成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求出f（x），利用二倍角的余弦公式變形化簡(jiǎn)解析式，設(shè)t=cosx則t∈[-1，1]代入原函數(shù)由配方法化簡(jiǎn)后，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的值域；
（2）由題意求出f（x），利用二倍角的余弦公式變形化簡(jiǎn)解析式，設(shè)t=cosx則t∈[-1，1]代入原函數(shù)，結(jié)合條件分離出b再構(gòu)造函數(shù)g（t），求出g′（t）判斷出g（t）的單調(diào)性，并求出g（t）的最大值，由恒成立問題即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）由題意求出f（x），利用二倍角的余弦公式變形化簡(jiǎn)解析式，設(shè)t=cosx則t∈[-1，1]代入原函數(shù)，由絕對(duì)值不等式化簡(jiǎn)后，對(duì)a進(jìn)行分類討論，由一元二次不等式的解法求出解集，結(jié)合條件求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)b=1，a=1時(shí)，f（x）=cosx+cos2x+1=2cos²x+cosx，
設(shè)t=cosx，則t∈[-1，1]，代入原函數(shù)得，y=2t²+t=$2（t+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{8}$，
當(dāng)t=$-\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)取到最小值是$-\frac{1}{8}$；當(dāng)t=1時(shí)函數(shù)取到最大值是3，
∴函數(shù)f（x）的值域是[$-\frac{1}{8}$，3]；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=cosx+bcos2x+1
=2bcos²x+cosx+b+1，
設(shè)t=cosx，則t∈[-1，1]，代入原函數(shù)得y=2bt²+t+b+1，
∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)x函數(shù)f（x）≥0恒成立，
∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)t∈[-1，1]有2bt²+t+b+1≥0恒成立，
∴$b≥\frac{-t-1}{{2t}^{2}+1}$，設(shè)g（t）=$\frac{-t-1}{{2t}^{2}+1}$=$-\frac{t+1}{{2t}^{2}+1}$，
則g′（t）=$-\frac{（t+1）′（2{t}^{2}+1）-（t+1）（2{t}^{2}+1）′}{{（2t}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{2{t}^{2}+4t-1}{{{（2t}^{2}+1）}^{2}}$，
由g′（t）=0得2t²+4t-1=0，解得t=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$或$\frac{-\sqrt{6}-2}{2}$
∵t∈[-1，1]，∴t=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$，
則當(dāng)t∈[-1，$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$）時(shí)，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減，
當(dāng)t∈[$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$，1]時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)t=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$時(shí)g（t）取最小值，又g（-1）=0，g（1）=$-\frac{2}{3}$，
∴g（t）的最大值是0，即實(shí)數(shù)b的取值范圍是[0，+∞）；
（3）當(dāng)b=1時(shí)，f（x）=acosx+cos2x+1=2cos²x+acosx，
設(shè)t=cosx，則t∈[-1，1]，代入原函數(shù)得，y=2t²+at，
∵存在實(shí)數(shù)x使得函數(shù)|f（x）|≥a²成立，
∴存在t∈[-1，1]使得函數(shù)|2t²+at|≥a²成立，
∴存在t∈[-1，1]使得2t²+at-a²≥0或2t²+at+a²≤0成立，
①當(dāng)a=0時(shí)，2t²≥0或2t²≤0成立，
②當(dāng)a≠0時(shí)，由于2t²+at+a²≤0的△=-7a²＜0，不等式無解，
由2t²+at-a²≥0得（2t-a）（t+a）≥0，
當(dāng)a＞0時(shí)，2t²+at-a²≥0的解集是[$\frac{a}{2}$，+∞）∪（-∞，-a]，
由題意可得，$\frac{a}{2}≤1$或-a≥-1，解得0＜a≤2，
當(dāng)a＜0時(shí)，2t²+at-a²≥0的解集是[-a，+∞）∪（-∞，$\frac{a}{2}$]，
由題意可得，-a≤1或$\frac{a}{2}$≥-1，解得-2≤a＜0，
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二倍角的余弦公式變形，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系，一元二次不等式的解法，以及換元法、構(gòu)造法，分類討論思想的應(yīng)用，考查恒成立、存在性問題的轉(zhuǎn)化等．