2.已知函數(shù)f(x)=|x+a|-|x-2|.
(1)當a=1時,求不等式f(x)≥2的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[2,3],求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)運用分段函數(shù)求得f(x)的解析式,由f(x)≥2,即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥2}\\{-1<x<2}\end{array}\right.$或x≥2,解不等式即可得到所求解集;
(2)由題意可得|x+a|≤4-x+x-2=2在[2,3]恒成立.則-2≤x+a≤2在[2,3]恒成立.即有-x-2≤a≤-x+2在[2,3]恒成立.求得不等式兩邊的最值,即可得到a的范圍.

解答 解:(1)當a=1時,f(x)=|x+1|-|x-2|
=$\left\{\begin{array}{l}{-3,x≤-1}\\{2x-1,-1<x<2}\\{3,x≥2}\end{array}\right.$,
由f(x)≥2,即有$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥2}\\{-1<x<2}\end{array}\right.$或x≥2,
可得$\frac{3}{2}$≤x<2或x≥2,
即為x≥$\frac{3}{2}$.
故不等式f(x)≥2的解集{x|x≥$\frac{3}{2}$};            
(2)f(x)≤|x-4|的解集包含[2,3],
即為|x+a|≤|x-4|+|x-2|在[2,3]恒成立,
即有|x+a|≤4-x+x-2=2在[2,3]恒成立.
則-2≤x+a≤2在[2,3]恒成立.
即有-x-2≤a≤-x+2在[2,3]恒成立.
由-x-2的最大值為-4,-x+2的最小值為-1.
故-4≤a≤-1.
則實數(shù)a的取值范圍是[-4,-1].

點評 本題考查絕對值不等式的解法,注意運用絕對值的意義,考查不等式恒成立問題的解法,注意運用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化思想,求函數(shù)的最值,考查運算能力,屬于中檔題.

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