Question

已知一個空間幾何體的直觀圖和三視圖（尺寸如圖所示）
（1）設點M為棱PD中點，求證：EM∥平面ABCD；
（2）線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于

2

5

？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）以B為原點，BA，BP，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面ABCD的一個法向量，由此能證明EM∥平面ABCD．
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量和平面PCD的一個法向量，由此利用向量法能求出線段PD上存在一點N，當N點與D點重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于

2

5

．

解答： （Ⅰ）證明：由三視圖知，BA，BP，BC兩兩垂直，故以B為原點，BA，BP，BC所在直線分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，…（1分）
則P（0，2，0），D（2，0，1），M（1，1，

1

2

），E（2，1，0），C（0，0，1），
所以

EM

=（-1，0，

1

2

），
平面ABCD的一個法向量等于

n

=（0，1，0），…（3分）
所以

EM

•

n

=（-1，0，

1

2

）•（0，1，0）=0，所以

EM

⊥

n

，（4分）
又EM?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD．（5分）
（Ⅱ）解：當點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為

2

5

．（6分）
理由如下：
因為

PD

=（2，-2，1），

CD

=（2，0，0），設平面PCD的法向量為

m

=（x，y，z），
由

m • PD =2x-2y+z=0 m • CD =2x=0

，所以x=0，z=2y，（7分）
取y=1，得平面PCD的一個法向量

m

=（0，1，2）．（8分）
假設線段PD上存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于

2

5

．
設

PN

=λ

PD

（0≤λ≤1），
則

PN

=λ（2，-2，1）=（2λ，-2λ，λ），

BN

=

BP

+

PN

=（2λ，2-2λ，λ）．（9分）
所以sinα=|cos＜

BN

，

m

＞|=

| BN • m |

| BN || m |

=

|2-2λ+2λ|

5 9λ2-8λ+4

=

2

5

，（12分）
所以9λ²-8λ-1=0，解得λ=1，或λ=-

1

9

．（舍去）．
因此，線段PD上存在一點N，當N點與D點重合時，
直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于

2

5

． （13分）

點評：本題考查考查直線與平面的平行、線面所成角、探索性問題等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想．