Question

已知函數(shù)f（x）=sinxcosx-m（sinx+cosx） 
（1）若m=1，求函數(shù)在（0，

π

2

）上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間（

π

2

，π）上是單調(diào)遞減函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）m=1時(shí)，令sinx+cosx=t，可得f（t）=

1

2

（t-1）²-

3

2

，從而有

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，可解得單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ，2kπ+

π

2

]，k∈Z．
（2）令sinx+cosx=t，有f（t）=

1

2

（t-m）²-

1

2

-

m2

2

，當(dāng)t=m時(shí)，函數(shù)取得最小值，t∈（-∞，m）函數(shù)是減函數(shù)．由

2

sin（

π

2

+

π

4

）=1，

2

sin（π+

π

4

）=-1，可得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinxcosx-m（sinx+cosx），
∴m=1時(shí)，f（x）=sinxcosx-（sinx+cosx），
令sinx+cosx=t，
t∈[-

2

，

2

]，則sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（t）=

t2-1

2

-t=

1

2

（t²-2t）-

1

2

=

1

2

（t-1）²-1，
那么當(dāng)t=1，y取得最小值=-1，
當(dāng)t=-

2

，y取得最大值

1

2

+

2

，
∴t∈[1，

2

]上時(shí)單調(diào)遞增．t∈[-

2

，1]上時(shí)單調(diào)遞減，
∴1≤

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，有

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，
∴可解得2kπ≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z，
∴單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ，2kπ+

π

4

]，k∈Z在[0，

π

4

]上單調(diào)遞增．
（2）令sinx+cosx=t，
t∈[-

2

，

2

]，則sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（t）=

t2-1

2

-mt=

1

2

（t²-2mt）-

1

2

=

1

2

（t-m）²-

1

2

-

m2

2

，
當(dāng)t=m，m∈[-

2

，

2

]時(shí)，函數(shù)取得最小值，t∈（-

2

，m）函數(shù)是減函數(shù)．

sin π 2 cos π 2 -m(sin π 2 +cos π 2 )≤

x∈（

π

2

，π）時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，sinπcosπ-m(sinπ+cosπ)≥-

1

2

-

m2

2

，
∴m∈R．可得m∈[-

2

，

2

]．
當(dāng)|m|＞

2

時(shí)，t=±

2

，函數(shù)取得最小值，可得：x=

π

4

，或x=

5π

4

不滿(mǎn)足題意．
綜上：m∈[-

2

，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)值域的求法，考察了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．