Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點．

（1）證明：MN∥平面PAB；
（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：法一、如圖，取PB中點G，連接AG，NG，

∵N為PC的中點，

∴NG∥BC，且NG= BC，

又AM= ，BC=4，且AD∥BC，

∴AM∥BC，且AM= BC，

則NG∥AM，且NG=AM，

∴四邊形AMNG為平行四邊形，則NM∥AG，

∵AG平面PAB，NM平面PAB，

∴MN∥平面PAB；

法二、

在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，

在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB= ，

∵AD∥BC，

∴cos ，則sin∠EAM= ，

在△EAM中，

∵AM= ，AE= ，

由余弦定理得：EM= = ，

∴cos∠AEM= ，

而在△ABC中，cos∠BAC= ，

∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，

∴AB∥EM，則EM∥平面PAB．

由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，

∴NE∥PA，則NE∥平面PAB．

∵NE∩EM=E，

∴平面NEM∥平面PAB，則MN∥平面PAB

（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC= ，得CM2=AC2+AM2﹣2ACAMcos∠MAC= ．

∴AM2+MC2=AC2，則AM⊥MC，

∵PA⊥底面ABCD，PA平面PAD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴CM⊥平面PAD，則平面PNM⊥平面PAD．

在平面PAD內，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．

在Rt△PAC中，由N是PC的中點，得AN= = ，

在Rt△PAM中，由PAAM=PMAF，得AF= ，

∴sin ．

∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）法一、取PB中點G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得NG∥BC，且NG= BC，再由已知得AM∥BC，且AM= BC，得到NG∥AM，且NG=AM，說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM∥AG，由線面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、證明MN∥平面PAB，轉化為證明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，過N作NE⊥AC，垂足為E，連接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通過求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，則結論得證；（2）連接CM，證得CM⊥AD，進一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD內，過A作AF⊥PM，交PM于F，連接NF，則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．