Question

14．設F₁和F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，若F₁，F(xiàn)₂，P（0，-2b）是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由已知得c²+4b²=4c²，由此能求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵F₁和F₂為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，
F₁，F(xiàn)₂，P（0，-2b）是正三角形的三個頂點，
∴c²+4b²=4c²，解得c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}b$，
∴a²=c²-b²=$\frac{4}{3}^{2}-^{2}$=$\frac{1}{3}^{2}$，即a=$\frac{\sqrt{3}}{3}b$，
∴雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}b}{\frac{\sqrt{3}}{3}b}$=2．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線性質的合理運用．