Question

5．已知橢圓的長軸長為6，離心率為$\frac{1}{3}$，F(xiàn)₂為橢圓的右焦點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）點M在圓x²+y²=8上，且M在第一象限，過M作圓x²+y²=8的切線交橢圓于P，Q兩點，判斷△PF₂Q的周長是否為定值并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：2a=6，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，求得a和c的值，由b²=a²-c²，求得b，寫出橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別求出|F₂P|，|F₂Q|，結(jié)合相切的條件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²，可得$|{P{F_2}}|+|{PM}|=3-\frac{1}{3}{x_1}+\frac{1}{3}{x_1}=3$，同理|QF₂|+|QM|=3，即可證明；

解答 解：（I）根據(jù)已知，設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
∴2a=6，a=3，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，c=1；
b²=a²-c²=8，
$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$（4分）
（II）△PF₂Q的周長是定值，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則$\frac{x_1^2}{9}+\frac{y_1^2}{8}=1$，
$|{P{F_2}}|=\sqrt{{{（{{x_1}-1}）}^2}+y_1^2}=\sqrt{{{（{{x_1}-1}）}^2}+8（1-\frac{x_1^2}{9}）}=\sqrt{{{（\frac{x_1}{3}-3）}^2}}$，
∵0＜x₁＜3，
∴$|{P{F_2}}|=3-\frac{x_1}{3}$，（7分）
在圓中，M是切點，
∴$|{PM}|=\sqrt{|OP{|^2}-|OM{|^2}}=\sqrt{x_1^2+y_1^2-8}=\sqrt{x_1^2+8（1-\frac{x_1^2}{9}）-8}=\frac{1}{3}{x_1}$，（11分）
∴$|{P{F_2}}|+|{PM}|=3-\frac{1}{3}{x_1}+\frac{1}{3}{x_1}=3$，
同理|QF₂|+|QM|=3，（13分）
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF₂Q的周長是定值6．…（14分）

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、直線與圓相切性質(zhì)、勾股定理、三角形的周長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．