Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，且a1=1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn= ，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn ．
①求Tn；
②對(duì)于任意的n∈N*及x∈R，不等式kx2﹣6kx+k+7+3Tn＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵4Sn=（2n﹣1）an+1+1，

∴4Sn﹣1=（2n﹣3）an+1，n≥2

∴4an=（2n﹣1）an+1﹣（2n﹣3）an，

整理得（2n+1）an=（2n﹣1）an+1，

即 = ，

∴ =3， = ，…， =

以上各式相乘得 =2n﹣1，又a1=1，

所以an=2n﹣1，

（2）解：①∵cn= = = （ ﹣ ），

∴Tn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1﹣ ）= ，

②由①可知Tn= ，

∴ ≥ ，

∵kx2﹣6kx+k+7+3Tn＞0恒成立，

∴kx2﹣6kx+k+8＞0恒成立，

當(dāng)k=0時(shí)，8＞0恒成立，

當(dāng)k≠0時(shí)，則得 ，解得0＜k＜1，

綜上所述實(shí)數(shù)k的取值范圍為[0，1）

【解析】（1）充分利用已知4Sn=（2n﹣1）an+1+1，將式子中n換成n﹣1，然后相減得到an與an+1的關(guān)系，利用累乘法得到數(shù)列的通項(xiàng)，（2）①利用裂項(xiàng)求和，即可求出Tn ，
②根據(jù)函數(shù)的思想求出 ≥ ，問題轉(zhuǎn)化為kx2﹣6kx+k+8＞0恒成立，分類討論即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．