Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x-2|
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+1）≤2；
（Ⅱ）若a＜0，求證：f（ax）-f（2a）≥af（x）．

Answer 1

分析 （I）由題意可得|x-1|+|x-2|≤2，對(duì)x討論，分當(dāng)x≤1時(shí)，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，當(dāng)x＞2時(shí)，去掉絕對(duì)值，解不等式，求并集即可得到所求解集；
（II）由題意可證f（ax）-af（x）≥f（2a），運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得左邊的最小值，即可得證．

解答 解：（I）由題意，得f（x）+f（x+1）=|x-1|+|x-2|，
因此只須解不等式|x-1|+|x-2|≤2，
當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式等價(jià)于-2x+3≤2，即$\frac{1}{2}$≤x≤1；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，原不等式等價(jià)于1≤2，即1＜x≤2；
當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式等價(jià)于2x-3≤2，即2＜x≤$\frac{5}{2}$．
綜上，原不等式的解集為{x|$\frac{1}{2}$$≤x≤\frac{5}{2}$}．
（II）證明：由題意得f（ax）-af（x）=|ax-2|-a|x-2|
=|ax-2|+|2a-ax|≥|ax-2+2a-ax|
=|2a-2|=f（2a）．
所以f（ax）-f（2a）≥af（x）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查不等式的證明，注意運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．