Question

16．正三角形ABC邊長(zhǎng)為2，M、N分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CP}$的取值范圍是[$-\frac{1}{4}$，0]；若$\overrightarrow{BP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，則（x+1）•y的最大值為$\frac{7}{16}$．

Answer 1

分析 ①建立坐標(biāo)系如圖：A（0，$\sqrt{3}$），M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），利用向量的數(shù)量積化為函數(shù)求解．
②根據(jù)向量的運(yùn)算得出$\overrightarrow{OP}$=（x-y-1，$\frac{\sqrt{3}（x+y）}{2}$），再根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)得出不等式組，利用函數(shù)求解即可．

解答 解：①建立坐標(biāo)系如圖：A（0，$\sqrt{3}$），M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）

$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CP}$（x+1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）•（x-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=x²$-\frac{1}{4}$，x∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
根據(jù)二次函數(shù)求解得出：$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CP}$的范圍$[{-\frac{1}{4}，0}]$．
②∵$\overrightarrow{BP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
∴$\overrightarrow{OP}$=（x-y-1，$\frac{\sqrt{3}（x+y）}{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}（x+y）}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{-\frac{1}{2}≤x-y-1≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{\frac{3}{4}≤x≤\frac{5}{4}}\end{array}\right.$
∴（x+1）•y=（1+x）（1-x）=1-x².$\frac{3}{4}$$≤x≤\frac{5}{4}$
最大值為1$-\frac{9}{16}$=$\frac{7}{16}$
答案為：$[{-\frac{1}{4}，0}]$；$\frac{7}{16}$

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考考查了向量，不等式，函數(shù)思想的運(yùn)用，解決最大值，最小值問題的應(yīng)用，屬于中檔題．