Question

5．已知數(shù)列{a_n}是首項為15的等比數(shù)列，其前n項的和為S_n，若S₃，S₅，S₄成等差數(shù)列，則公比q=$-\frac{1}{2}$，
當(dāng){a_n}的前n項的積達到最大時n的值為4．

Answer 1

分析 ①數(shù)列{a_n}的公比為q，由于S₃，S₅，S₄成等差數(shù)列，可得2S₅=S₃+S₄，q≠1，化為a₄+2a₅=0，即可解出q．
②由①可得：a_n=$15×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．可得{a_n}的前n項的積T_n=15ⁿ×$（-\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=15×$（-\frac{1}{2}）^{n}$，對n分類討論即可得出．

解答 解：①數(shù)列{a_n}的公比為q，∵S₃，S₅，S₄成等差數(shù)列，
∴2S₅=S₃+S₄，q≠1，
∴a₄+2a₅=0，
∴a₄+2a₄q=0，a₄≠0，
解得q=$-\frac{1}{2}$．
②由①可得：a_n=$15×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴{a_n}的前n項的積T_n=15ⁿ×$（-\frac{1}{2}）^{0+1+2+…+（n-1）}$=15ⁿ×$（-\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=15×$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
當(dāng)n=4時，$\frac{{T}_{5}}{{T}_{4}}$=$\frac{15}{16}$，當(dāng)n為偶數(shù)且大于4時，0＜$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＜$\frac{15}{16}$．
可得：T₁=15，T₂=$-\frac{225}{2}$，T₃=$-\frac{1{5}^{3}}{8}$，T₄=$\frac{1{5}^{4}}{64}$，T₅=15⁵×$（\frac{1}{2}）^{10}$，…，
可得：當(dāng)n=4時，T_n取得最大值．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．