Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+x}$．
（1）求f（2）與f（$\frac{1}{2}$），f（3）與f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）由（1）中求得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f（$\frac{1}{x}$）有什么關(guān)系？并證明你的發(fā)現(xiàn)．
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+x}$，能求出f（2）與f（$\frac{1}{2}$），f（3）與f（$\frac{1}{3}$）的值．
（2）猜測(cè)$f（x）+f（\frac{1}{x}）=1$，利用函數(shù)性質(zhì)能進(jìn)行證明．
（3）由$f（x）+f（\frac{1}{x}）=1$，能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2015}$）的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+x}$，
∴$f（2）=\frac{2}{3}$，$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{3}$，$f（3）=\frac{3}{4}$，$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{4}$．
（2）由（1）中求得的結(jié)果，可猜測(cè)$f（x）+f（\frac{1}{x}）=1$
證明如下：$f（x）+f（\frac{1}{x}）=\frac{x}{1+x}+\frac{{\frac{1}{x}}}{{1+\frac{1}{x}}}=\frac{x}{1+x}+\frac{{\frac{1}{x}}}{{\frac{x+1}{x}}}=\frac{x}{1+x}+\frac{1}{x+1}=1$
（3）由（2）知：$f（x）+f（\frac{1}{x}）=1$．
∴$f（2）+f（\frac{1}{2}）=1$，$f（3）+f（\frac{1}{3}）=1$，…，$f（2015）+f（\frac{1}{2015}）=1$．
又$f（1）=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，
∴$f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）+f（\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{3}）+…+f（\frac{1}{2015}）$=$\frac{1}{2}+\underbrace{1+1+…+1}_{2014個(gè)}=\frac{4029}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．