Question

16．設(shè)z是虛數(shù)，ω=z+$\frac{1}{z}$是實(shí)數(shù)，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；
（2）求|z-2|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則ω=a+$\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}$+$（b-\frac{{a}^{2}+^{2}}）$i是實(shí)數(shù)，可得b-$\frac{{a}^{2}+^{2}}$=0，又z是虛數(shù)，可得b≠0，a²+b²=1．可得|z|=1，由ω=2a，-1＜ω＜2．即可得出z的實(shí)部的取值范圍．
（2）z-2=（a-2）+bi，可得|z-2|=$\sqrt{（a-2）^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5-4a}$，利用$-\frac{1}{2}＜a＜1$，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則ω=z+$\frac{1}{z}$=a+bi+$\frac{1}{a+bi}$=a+$\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}$+$（b-\frac{{a}^{2}+^{2}}）$i是實(shí)數(shù)，∴b-$\frac{{a}^{2}+^{2}}$=0，又z是虛數(shù)，∴b≠0，∴a²+b²=1．
∴|z|=1，∴ω=2a，∵-1＜ω＜2．∴-1＜2a＜2，解得$-\frac{1}{2}＜a＜1$．∴z的實(shí)部的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，1）$．
（2）z-2=（a-2）+bi，∴|z-2|=$\sqrt{（a-2）^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5-4a}$，∵$-\frac{1}{2}＜a＜1$，∴1＜5-4a＜7，∴|z-2|的取值范圍是$（1，\sqrt{7}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、實(shí)部的意義、方程的解法，不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．