Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，且有2f（x）+xf′（x）＞x²，則不等式$\frac{1}{4}$（x+2015）²f（x+2015）-f（-2）＞0的解集（　�。�

• A． （-∞，-2013）
• B． （-2013，0）
• C． （-∞，-2017）
• D． （-2017，0）

Answer 1

分析 令g（x）=x²f（x），則g'（x）=x²f'（x）+2xf（x）=x（xf'（x）+2f（x））；從而可得g（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
g'（x）=x²f'（x）+2xf（x）=x（xf'（x）+2f（x））；
∵2f（x）+xf'（x）＞x²＞0，x＜0；
∴x（xf'（x）+2f（x））＜0，
∴g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴$\frac{1}{4}$（x+2015）²f（x+2015）-f（-2）＞0 可化為：
（x+2015）²f（x+2015）＞4f（-2）=（-2）²f（-2）
∴x+2015＜-2，
故x＜-2017；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，屬中等題．