Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sin

C

2

=

6

3

，a=b=3，點(diǎn)P是邊AB上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則

CP

•

CB

+

CP

•

CA

=（　�。�

• A、0
• B、6
• C、9
• D、12

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：過點(diǎn)C作CO⊥AB，垂足為O．如圖所示，C(0，

3

)．由sin

C

2

=

6

3

，可得cos

C

2

=

1-sin2 C 2

，CO，AO=OB=

a2-CO2

．分別取點(diǎn)P靠近點(diǎn)B，A的三等分點(diǎn)．可得P．利用向量的三角形法則、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算即可得出．

解答： 解：過點(diǎn)C作CO⊥AB，垂足為O．如圖所示，C(0，

3

)．
∵sin

C

2

=

6

3

，∴cos

C

2

=

1-sin2 C 2

=

3

3

．
∴CO=

3

．
∴AO=OB=

32-( 3 )2

=

6

．
取點(diǎn)P靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．
則P(

6

3

，0)．
∴

CP

•

CB

+

CP

•

CA

=

CP

•2

CO

=2(

6

3

，-

3

)•(0，-

3

)=6．
同理取點(diǎn)P靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)答案也是6．
∴

CP

•

CB

+

CP

•

CA

=6．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的三角形法則、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．