Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+1）•e^-x（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若存在x₀∈[-2，-1]，使得曲線y=-f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線傾斜角不大于45°，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，然后通過解不等式確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可將問題轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，最終通過研究函數(shù)的最值求解．

解答： 解（1）∵f（x）=（x²+2ax+1）•e^-x（a∈R）．
∴f′（x）=-e^-x（x-1）（x-（1-2a）），
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=-e^-x（x-1）≤0恒成立，故函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，即1-2a＞1時(shí)，f′（x）＜0在（-∞，1）∪（1-2a，+∞）成立，故在（-∞，1），（1-2a，+∞）上f（x）為減函數(shù)，在[1，1-2a]上f′（x）＞0，故此時(shí)f（x）遞增；
③當(dāng)a＞0時(shí)，即1-2a＜1時(shí)，f′（x）＜0在（-∞，1-2a）∪（1，+∞）成立，故在（-∞，1-2a），（1，+∞）上f（x）為減函數(shù)，在[1-2a，1]上f′（x）＞0，故此時(shí)f（x）遞增；
（2）y=-f（x）=（x²+2ax+1）•e^-x（a∈R）
所以y′=e^-x（x-1）（x-（1-2a）），x∈[-2，-1]
若切線的傾斜角不大于45°，則直線的斜率即：在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值小于或等于1，
原函數(shù)y=-f（x）=-（x²+2ax+1）e^-x，所以y′=e^-x[（x-1）²+2a（x-1）]≤1，
化簡得2a≥

ex

x-1

-(x-1)①，當(dāng)x∈[-2，-1]恒成立，令g（x）=

ex

x-1

-(x-1)，
而(

ex

x-1

)′=

ex(x-2)

(x-1)2

當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)小于0恒成立，所以函數(shù)y=

ex

x-1

在[-2，-1]上是減函數(shù)，且函數(shù)y=-（x-1）在[-2，-1]上也是減函數(shù)，
所以g（x）=

ex

x-1

-(x-1)，在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，所以g(x)max=g(-2)=3-

e-2

3

，
所以要使①式恒成立，只需2a≥g(x)max=g(-2)=3-

e-2

3

，
即a≥

3

2

-

e-2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題充分考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式恒成立問題的解題思想．