Question

12．已知二次曲線2x²+$\sqrt{3}$xy+y²+x-y-2=0，若將其圖形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ角后（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），所得圖形的新方程式中不含xy項，求θ．

Answer 1

分析 由已知可得旋轉(zhuǎn)變換矩陣M=$[\begin{array}{l}{cosθ}&{-sinθ}\\{sinθ}&{cosθ}\end{array}]$，求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入2x²+$\sqrt{3}$xy+y²+x-y-2=0，得到關(guān)于x′，y′的新方程式，要使其中不含x′，y′項，必須滿足2sinθcosθ+$\sqrt{3}$（cos²θ-sin²θ）=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：由已知可得旋轉(zhuǎn)變換矩陣M=$[\begin{array}{l}{cosθ}&{-sinθ}\\{sinθ}&{cosθ}\end{array}]$．
T：$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{xcosθ-ysinθ}\\{xsinθ+ycosθ}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=x′cosθ+y′sinθ}\\{y=-x′sinθ+y′cosθ}\end{array}\right.$，
代入2x²+$\sqrt{3}$xy+y²+x-y-2=0，得到關(guān)于x′，y′的新方程式，要使其中不含x′，y′項，
必須滿足2sinθcosθ+$\sqrt{3}$（cos²θ-sin²θ）=0，
∴tan2θ=-$\sqrt{3}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)變換矩陣，考查曲線與方程，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．